等边三角形的判定(等边三角形的性质与判定)

三边都相等的三角形叫等边三角形，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．拥有等腰三角形所有的性质，并且具有自己特有的性质。

1.等边三角形的性质

等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60；等边三角形是轴对称图形，具有三条对称轴。

例题1：如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H． 1求证：△BCE≌△ACD； 2求证：FH∥BD．

第1问：先根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60，再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD；

第2问：由 1知△BCE≌△ACD，可知∠CBF=∠CAH，BC=AC，再由ASA定理可知△BCF≌△ACH，可得出CF=CH，根据∠FCH=60，可知△CHF为等边三角形，进而可得出结论．

这也是“手拉手模型”基本的模型图，里面包含的结论远远不止这两个。如果将其中一个等边三角形绕着点C进行旋转，也会得到一系列的结论。

2.等边三角形的判定

常用的方法有：

1三条边都相等的三角形是等边三角形；

2三个角都相等的三角形是等边三角形；

3有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．

例题2：如图，在△ABC中，∠A=120，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．

分析：由∠A=120，AB=AC，易得∠B=∠C=30，从而得∠EDF=60，因为D是BC的中点，易证△BDE≌△CDF，由全等三角形的性质得DE=DF，由等边三角形的判定得△DEF是等边三角形．

本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质及判定定理，等边三角形的判定，找出等边三角形的判定条件是解答此题的关键。在证明等边三角形时，第三种判定方法用得比较多。

3.含30的直角三角形

在直角三角形中，如果有一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边斜边的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系和计算线段的长度，这个直角三角形中，三边的比为：1：2：根号3.

例题3：已知：如图，等边△ABC中，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．

分析：根据全等三角形的判定方法SAS可证得△BEC≌△ADB，根据各角的关系及三角形内角、外角和定理可证得∠BPQ=60，即可得结论．

本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质。

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