初中数学三角形常用定理

1、中线定理（阿波罗尼奥斯定理）

设△ABC的边BC中点为P，则有AB²+AC²=2（AP²+BP²）

AB²+AC²=2（AP²+BP²）

2、垂线定理

△ABC中边AB上的高为CD，则有AC²-AD²=BC²-BD²

AC²-AD²=BC²-BD²

3、角平分线定理

△ABC中，AD平分∠BAC，则有BD/DC=AB/AC

BD/DC=AB/AC

4、斯特瓦尔特定理

已知△ABC，D为边BC上一点，则有AB²×DC+AC²×BD-AD²×BC=BC×DC×BD

AB²×DC+AC²×BD-AD²×BC=BC×DC×BD

5、射影定理（欧几里得定理）

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则CD²=AD×DB，BC²=BD×BA，AC²=AD×AB

CD²=AD×DB，BC²=BD×BA，AC²=AD×AB

6、梅涅劳斯定理（梅氏定理）

设△ABC的三边AB、BC、CA或延长线和一条不经过它们任意顶点的直线的交点分别为P、Q、R，则有(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

7、塞瓦定理

设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，且AX、BY、CZ所在直线交于一点，则有(AZ/ZB)×(BX/XC)×(CY/YA)=1

(AZ/ZB)×(BX/XC)×(CY/YA)=1

8、西姆松定理

从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足为D、E、F，则D、E、F共线

D、E、F三点共线

9、海伦公式（希伦公式）

△ABC三边长为a、b、c，则其面积为S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=1/2(a+b+c)

S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

10、燕尾定理

两个有公共边的三角形ABC和ABD，AB与CD交于点M，则S△ABC∶S△ABD=CM∶DM

S△ABC∶S△ABD=CM∶DM

11、正弦定理

已知△ABC三个顶点，A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，外接圆半径为R，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

推论：S△ABC=1/2a·b·sinC

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

12、余弦定理

已知△ABC三个顶点A、B、C所对边的长度为a、b、c，则

a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA

b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA，b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB，c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

13、张角定理

在△ABC中，D是BC上的一点，则有sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

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