齐次线性方程组通解求法的数学原理

齐次线性方程组通解求法的数学原理

将它用矩阵形式表达出来：

首先，先讲通解的求法，第一步：将系数矩阵A进行初等行变换，将它阶梯化（加减消元）。

初等行变换就是以前学过的加减消元法

突然发现A的秩r(A)=24，说明方程组只有两个有效约束，可是方程组却有五个未知数，这样就会有5-2=3个自由变量。然后我们进行第二步：归一排他。

用初等变换，将每一行首位不为零的数化为1（归一），再将此列的其他所有元素化为0（排他）

选每行首位数字为1的元素对应的变量为固定变量（x1和x2），那么后三个就为自由变量。接下来就可进行最后一步：书写通解。

k1，k2，k3取任何数

至此，通解就求出来了，但是

为什么要这样去求呢？

为什么要将系数矩阵阶梯化呢？

为什么通解的后三行要写成单位矩阵呢？

为什么要归一排他呢？

为什么后三列元素要变号后才能写入通解的前两行呢？

上面这五个问题是我当初学线性代数时产生的疑问。我的老师并没有讲，她只讲了怎么求，而没告诉我们背后的原理。但是，作为一个理科生，就会放任问题在脑海中盘旋吗，当然不行。

下课后，我对这一系列疑问逐一进行了参透。我认为应该这样去理解：

首先，将系数矩阵阶梯化，可以求出矩阵的秩，而秩可以拿来判断方程租解的情况，在前面的例子里，r(A)=24(行数)，根据克莱姆法则，可以判断出齐次方程组有无数个解。我们把这些解看成一个个列向量，而通解就是这无数个解向量中的极大无关组。换句话说，这三个解不仅自己内部线性无关，而且其他的解可以通过这三个解线性组合得到。简直太强大有没有。

系数矩阵的秩还告诉了我们另一个重要信息，那就是方程组当中有多少个变量受约束，多少个变量自由（自由的意思就是可以任意取），在前面例子里可以得出自由变量有：5(未知数个数)-2(秩或有效约束个数)=3个。（可见矩阵秩的重要性）

其次，后三行为何要写成单位阵样式呢？是因为我们在求通解的过程中，人为的将 x1 和 x2看成受约束的变量，而x3，x4，x5看成了自由变量。这就好比在五维空间中要想表示一个任意向量，需要5个无关基向量，但是其中两个基向量的大小和方向已经被约束条件固定住了，只剩下三个是自由的了，相当于降维打击成了三维，而三维空间中最简单的基向量就是

（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）。因为变量自由，可以任意取，为什么不取三个最简单的呢。而且这样也就顺带保证了通解中的三个向量是线性无关的。

最后，为什么要归一排他呢？为什么要变号呢？因为这样就可以让我们构造的三个向量是方程组的解了。比如：

到这里，这三个向量，既是方程组的解又是所有解的极大无关组，将他们线性组合，就可以得到通解。

我不知道我的老师不给我们讲原理是出于什么，是想让我们自己去探索还是对于工科生只要知道结论就好了？但是不管怎样，不管是不是工科生，都应该抱有一种无所谓而为之的求学态度，不可以觉得，就算知道了背后原理又有什么用呢。我去探索原理其实动机很简单，就是觉得这样很好玩，很有意思。

如果我有错别字和逻辑不合理的地方请严肃指出。

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