2019真题全解析---数学一
2019真题全解析---数学一
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一
一、选择题:1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
1.当x®0时，若x-tan x与 是同阶无穷小，则xk k =
（）
A.1 B.2 C.3
【答案】（C）
x3
D.4
-
2.设函数 f (x)=í ，则 是 的x=0 f (x)îxln x, x0
A.可导点，极值点 B.不可导点，极值点 C.可导点，非极值点 D.不可导点，非极值点
【答案】（B）.
f (x)- f (0) xln x -0
（）
【解析】lim x-tan x = lxi®m0 k3 =A(¹ 0)，∴ ，选（k =3 C） x
ì x x , x £ 0
【解析】由导数定义， f+¢(0) = lim+= lim= -¥， x®0 x -0 x®0+ x
∴ 为 的不可导点x=0 f (x) .
当 xÎ(0,0+d)时， f (x) = xln x0 ，当 xÎ(0-d,0)时， f (x) = xx0，又∵ f (0) = 0，∴极值点定义， 为 的极大值点x=0 f (x) .选（B）.
3. 设 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是{un}（）
¥ ¥
A.ån=1 unn B.ån=1(-1)n u1n
¥ æ un ö ¥ 2 2
C.åç1- ÷ D.å(un+1 -un ) n=1 è un+1 ø n=1
【答案】（D）
【解析】∵ 单调递增且有界，{un}
∴由单调有界收敛定理， 极限存在{un} .
设lni®m0un = A，å(¥)(un2+1 -un2 )的部分和数列为{Sn}
n=1
Sn =(u22 -u12)+(u32 -u22)+L+(un2+1 -un2)=un2+1 -u12 limSn = limun2+1 -u12存在.∴选（D）.
n®0 n®0
x
4.设函数Q(x, y) = 2 ，如果对上半面(y0)内的任意有向光滑封闭曲线 都有C
y
Aò P(x, y)dx+Q(x, y)dy= 0，那么函数P(x, y)可取为
（）
x2 1 x2 1 1 1
A. y - 3 B. - 3 C. - D. x - y y y x y y
【答案】（D）
¶Q ¶P
【解析】由题意知，积分与路径无关.∴ =
¶x ¶y
1 ¶P 1
即 = ，∴P = -+j(x) .排除 A，B 选项 2
y ¶y y
又∵ 时，y 0 C 选项有无定义点，∴答案选（D）.
5.设 是A 3 阶实对称矩阵， 是E 3 阶单位矩阵.若 A2 + A = 2E ，且 A = 4 ，则二次型
xT Ax的规范形为
（）
A. y12 +y22 +y32 B. y12 +y22 -y32 C. y12 -y22 -y32 D.-y12 -y22 -y32 【答案】（C）
【解析】由 A2 + A = 2E 得l2 +l= 2，即(l+ 2)(l-1) = 0，则l=-2或 1 又 A = 4 ，故 的特征值为： ， ，A3´3 -2 -2 1 所以规范形为y12 -y22 -y32 ，故选（C）
6.如图所示，
有 3 张平面两两相交，交线互相平行，它们的方程
ai1x + ai2y + ai3z = di (i =1,2,3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 ， ，则A A
（）
A. r(A) = 2，r(A)= 3 B. r(A) = 2，r(A)= 2
C.r(A) =1，r(A)= 2 D.r(A) =1，r(A)=1
【答案】（A）
ìa11x+a12y +a13z = d1 ① ï
【解析】ía21x+a22y +a23z = d2 ②
ïîa31x+a32y +a33z = d3 ③ 因 3 张平面两两相交，交线互相平行，则①②③中，任两个方程有无穷多个交点，且①②③联立，没有公共点.r(A) = 2，
r(A)= 3，故选（A）.
7.设 ， 为随机事件，则A B P(A) = P(B)的充分必要条件是（）
A. P(AU B) = P(A)+ P(B) B. P(AB) = P(A)P(B)
C. P(AB)=P(BA) D. P(AB)=P(AB)
【答案】（C）【解析】
C 选项：P(AB)=P(BA)
∴P(A)- P(AB) = P(B)- P(BA)
∴P(A) = P(B)
∴答案选（C）
8.设随机变量 与 相互独立，且都服从正态分布X Y N(m,s2)，则P{X -Y1}=
（）
A.与 无关，与 有关m s2 B.与 有关，与 无关m s2
C.与 ， 都有关m s2 D.与 ， 都无关m s2
【答案】（A）
【解析】∵ 与 相互独立，x y x ~ N(m,s2)，y ~ N(m,s2)
∴x-y ~ N(0,2s2)
∴P{ x - y 1} = 2Fæç 1 ö÷-1
ès× 2 ø ∴与 无关与 有关，选（m s2 A）
二、填空题:9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上．
1 ¶z 1 ¶z
9.设函数 可导，f (u) z = f (sin y -sin x)+ xy ，则 × + × = ________cos x ¶x cos y ¶y
y x
【答案】 +
cos x cos y
【解析】 z = f (sin y -sin x)+ xy
¶z
= f ¢×(-cosx)+ y
¶x
¶z
= f ¢×cos y + x
¶y
1 ¶z 1 ¶z
∴ × +
cos x ¶x cos y ¶y
1 1
=éë f ¢×(-cos x)+ yùû + cos y ( f ¢×cos y + x)
cos x
y x
= +
cos x cos y
10.微分方程2yy¢- y2 -2 = 0 满足条件 y(0) =1的特解y= ________.
【答案】 y = 3ex -2
【解析】2yy¢ = y2 + 2
2y 2y
Þ 2 × y¢ =1Þ 2 dy = dx y + 2 y + 2
ln y2 +2 =x+c1， y2 + 2 = c×ex
∵ y(0) =1Þ c = 3， y2 + 2 = 3ex
∴ y = 3ex -2
n
¥ (-1) n
11.幂级数ån=0 (2n)!x 在(0,+¥)内的和函数S(x) =________.
【答案】S(x) = cosx ， xÎ(0,+¥) .
2n
¥ (-1)n xn ¥ n ( x)
【解析】ån=0 (2n)! = ån=0 (-1) (2n)! = cos ∴S(x) = cos x ， xÎ(0,+¥) .
12.设 为曲面S x2 + y2 + 4z2 = 4(z ³ 0)的上侧，则òò 4-x2 -4z2dxdy=________.
S
【答案】
2 2
ìx + y £ 4
【解析】设 ：D í
îz = 0
òò 4- x2 -4z2dxdy = òò y dxdy=òò y dxdy
S D D
p 2
= 2ò0 dqò0 r2 sinqdr =
13.设 A = (a1,a2,a3)为 3 阶矩阵，若 ， 线性无关，则a1 a2 a3 = -a1 + 2a2 ，则线性方程
Ax=0的通解为________
【答案】x=k(1,-2,1)T ， 为任意常数k .
【解析】 ， 线性无关a1 a2 Þ r(A) = r(a1,a2,a3) ³ 2
a3 = -a1 + 2a2 Þa1,a2,a3 线性相关Þ r(A) = r(a1,a2,a3)3
æ 1 ö
∴r(A) = 2，a3 = -a1 + 2a2 Þa1 -2a2 +a3 = 0 Þ A×çç-2÷÷ = 0
çè 1 ÷ø
∴Ax=0的通解为x=k(1,-2,1)T ， 为任意常数k .
ìx
ï ,
14.设随机变量 的概率密度为X f (x)=í2
0x2
， 为 的分布函数。F (x) X EX
ïî0, 其他
为 的数学期望，则X P{F (X )EX -1} =________.
【答案】
【解析】E(X ) = ò-+¥¥ x× f (x)dx = ò02x× 2x dx = 43
ì 0 x 0
ï
x ï1 2
FX (x)=ò-¥ fX (t)dt =íï4 x 0£ x 2
ïî 1 x ³2
ì 4 ü ì 1 ü ì1 2 1 ü ì 1 ü PíFX (X)-1ý = Pí0, X0ý+ Pí X,0 £ X2ý+ Pí1 , X ³ 2ý
î 3 þ î 3 þ î4 3 þ î 3 þ
ì 2 ü +¥ 2 x 2
= PíîXý =ò fX (x)dx =ò 2 2 dx =3
3þ 3
三、解答题:15~23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x2
-
15.（本题满分 10 分）设函数 是微分方程y(x) y¢+ xy = e 2 满足条件 y(0) = 0的特解.
（1） 求 y(x) . （2）求曲线 y = y(x)的凹凸区间及拐点.
é -x
【解析】（1）由已知 y = e-òxdx êC + òe 22 ×eòxdxdxúù = e-x22 [C + x]
êë úû
x2 - 又因为 y(0) = 0, 所以C = 0, 所以y = xe 2 .
（2） 因为函数为奇函数，所以只需讨论[0，+¥)上曲线的凹凸性
x2 - 因为 y¢¢=x(x2 -3)e 2 所以当 xÎ(0, 3)时，y¢¢0;当 xÎ( 3，+¥时)， y¢¢0; 综上，曲线的凹区间为(- 3,0),( 3,+¥)；凸区间为(-¥,- 3),(0, 3)；拐点为
æ -3 ö æ -3 ö
(0,0),ç 3, 3e 2 ÷,ç- 3,- 3e 2 ÷
è ø è ø
16.（本题满分 10 分）设 ， 为实数，函数a b z = 2+ ax2 +by2 在点 处的方向导(3,4) 数中，沿方向l =-3i-4 j 的方向导数最大，最大值为 10.
（1） 求 ， ；（a b 2）求曲面 z = 2+ ax2 +by2 (z ³ 0)的面积.
【解析】（1）由题设条件知：
ì2ax 2by
ïï -3 (3,4) = -4 (3,4) Þ íìa = b ， a=-1,b=-1
í
ï2ax×(- 3) (3,4) + 2by(- 4) (3,4) =10 î9a +16b = -25
ïî 5 5
（2） 由（1）知 z = 2- x2 - y2 面积
2p 2
S =1dS = òò 1+ 4(x2 + y2 )dxdy =ò dqò 1+ 4r2 rdr
0 0
S D:x2+y2£2
2
= 2p×(1+ 4r2 )d(1+ 4r2 )
0
13p
=
3
17.（本题满分 10 分）求曲线 y = e-x sin x(x ³ 0)与 轴之间图形的面积x .
【解析】由已知
¥ (n+1)p ¥ -xn -x n (n+1)p -x
S =e sin xdx = åò (-1) e sin xdx = å(-1) ò e sin xdx
np np n=0 n=0 又因为
(n+1)p -x -x(n+1)p (n+1)p -x
ò e sin xdx=(-e sin x)+ ò e cos xdx
npnp np
-x(n+1)p (n+1)p -x
= 0+-e cos x) - ò e sin xdx np np
(n+1)p
(n+1)p -x-xn -np -(n+1)p
所以e sin xdx =(-e cos x)=(-1) (e -e )
np
np
从而
¥ n 1 n -np -(n+1)p 1 ¥ -np -(n+1)p 1 æ 1 e-p ö
S = å(-1) (-1) (e -e )= å(e -e )= ç -p - -p ÷ n=0 2 2 n=0 2è1-e 1-e ø
1 ep +1
= p .
2 e -1
18.（本题满分 10 分）设an =ò0(1) xn 1-x2dx(n= 0,1,2,L).
n-1 an
（1）证明：数列 单调减少，且{an} an = an-2 (n= 2,3,L)；（2）求lim.
1
【解析】（1）an+1 -an =(xn+1 - xn)
0
n+ 2 n®¥ an-1
1 2n2
1- x dx =x (x -1) 1- x dx0，所以{an}
0
单调减少.
p p
1
an = ò0 xn 1- x2 dx Þ 令x = sint Þ ò02 sinnt ×cos2 tdt = ò02 sinnt ×(1-sin2 t)dt
p p p
= ò02 sinnt ×(1-sin2 t)dt == ò02 sinnt ×dt - ò02 sinn+2tdt
又
= çæ n-1× n-3 ×L2 ö÷-æç n-1× n-3 ×L2 ö÷× n+1
è n n-2 3 ø è n n-2 3 ø n+ 2
æ n-1 n-3 2 ö 1 （当为n 奇数）
= ç × ×L ÷×
è n n-2 3 ø n+ 2
所以，an-（2 =当æç 为n-奇3数× n）-5 ×L2 ö÷× 1 n
è n-2 n-4 3 ø n
an = n-1 ，同理：n为偶数结果一样.
an-2 n+ 2
(2) {an}单调减少，所以 n-1an-2 × an = an 1，由夹逼准则，lim an =1
n+ 2 an-1 an-2 an-1 n®¥ an-1
19.（本题满分 10 分）设 是锥面W x2 +(y-z)2 =(1-z)2 (0 £ z£1)与平面 围成的z=0
椎体，求 的形心坐标W . 【解析】: x =0 由对称性可知x =0 .
1
òòò1dx - ò0 dz òò 1ds
W x2+(y-z)2£(1-z)2
1 2 1 2 1 3 1 p
= ò0p(1- z) dz = ò0p(z -1) d (z -1) =p×3(z -1) 0 = 3
1 1
òòòzdr =ò0pz(1-z2)dz=ò0p(1-z)z2dz
W
æ1 1 ö p =pç - ÷ = è 3 4 ø 12
1
òòò ydv = ò0 dz òò ydxdy
W x2+(y-z)2£(1-z)2
1 1 2
= ò0 y ×SDdz = ò0 z×p(1- z) dz
p
= p∴ y = 1p2 = 14 ∴ y = z = 14 .所以形心坐标为：èçæ0，, 14，14 ö÷ø
12
3
20.（本题满分 11 分）设向量组a1 =(1,2,1)T ，a2 =(1,3,2)T ，a3 =(1,a,3)T 为 的一R3 个基，b=(1,1,1)T 在这个基下的坐标为(b,c,1)T，（1）求 ， ， ；（a b c 2）证明： ，a2 a3 ， 为 的一个基，并求 ， ， 到 ， ， 的过渡矩阵b R3 a2 a3 b a1 a2 a3 .
【解析】（1） 在 ， ， 下的坐标为b a1 a2 a3 (b,c,1)T Þb=ba1 +ca2 +a3
æ1ö æ1ö æ1ö æ1ö ìb+c +1=1 ìa = 3
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ï ï
可得： 1÷ = bç2÷+cç3÷+ça÷ Þ í2b+3c + a =1Þ íb = 2
ç
ç1÷ø çè1÷ø çè2÷ø çè3ø÷ ïîb+ 2c +3a =1
è
ïc = -2
î
æ1 1 1ö æ1 1 1 ö æ1
（2）(a2,a3,b) = çç3 3 1÷÷ ® çç0 0 -2÷÷ ® çç0
ç2 3 1÷ø çè0 1 -1÷ø çè0
è
r(a2,a3,b) = 3，所以a2,a3,b为 的一组基R3
设(a1,a2,a3) = (a2,a3,b)×c
1 1 ö
÷
1 -1÷
0 -2÷ø
æ1 1 1 1 1 1ö æ1
1 1 1
1
1ö
(a2,a3,b,a1,a2,a3 ) = çç3
ç2
è
3 1
3 1
2
1
3
2
÷ ç
3÷ ® ç0
3÷ø çè0
0 -2
1 -1
-1
-1
0
0
÷
0÷
1÷ø
æ1
0
0
1 1
0ö
ç
÷
æ1 0 2 2 1 0ö
ç ÷ ç0 1 0 -0 1÷
® ç0 1 -1 -1 0 1÷ ® ç÷
çè0 0 -2 -1 0 0÷ø çç0 0 10 0÷÷
èø
æ 1
ç
所以a2,a3,b到a1,a2,a3 的过渡矩阵为çç- 12
ç 1
ç
è 2
1 0ö
÷
0 1÷
÷
÷
0 0÷ ø
æ-2 -2
21.（本题满分 11 分）已知矩阵 A =çç 2 x
ç 0 0
è
1 ö
÷
-2÷与
-2÷ø
æ2
ç
B =ç0
ç0
è
1
-1
0
0ö
÷
0 相似.（1）求 ，x
÷ y÷ø
y；（2）求可逆矩阵使得P-1AP = B .
【解析】（1）因为 与 相似A B
tr(A) = tr(B) Þ x -4 = y +1üï ìx = 3
所以ý Þ í
A = B Þ -2(4-2x) = -2y þï îy = -2
（2）lE - A = (l-2)(l+1)(l+ 2) = 0 Þl1 = 2，l2 = -1，l3 = -2
æ 4 2 -1ö æ2 1
ç ÷ ç
当 时，l1 = 2 2E - A = ç-2 -1 2 ÷ ® ç0 0
ç 0 0 4 ÷ø çè0 0
è
0ö
÷ T 1÷ ，a1 =(1,-2,0)
0÷ø
æ 1
ç
当l2 = -1时，-E - A = ç-2
ç 0
è
2
-4
0
-1ö æ1 2 ÷ ç
2 ÷ ® ç0 0
1 ÷ø çè0 0
0ö
÷ T
1÷a2 ×(-2,1,0)
0÷ø
æ 0
ç
当l3 = -2时，-2E - A = ç-2
ç 0
è
a3 =(1,-2,-4)T
2
-5
0
-1ö æ 0
÷ ç
2 ÷ ® ç-2
0 ÷ø çè 0
-2 1ö æ4 0 ÷ ç
-1 0÷ ® ç2 1 0 0÷ø çè0 0
1ö
÷
0÷
0÷ø
æ2 0 0 ö
令P = (a,a ,a )，则P-1AP = L = ç0 -1 0 ÷
11 2 3 1 ç ÷
ç0 0
è
-2÷ø
æ0 -1
ç
当 时，l1 = 2 2E - B = ç0 3
ç0 0
è
0ö æ0 1
÷ ç
0÷ ® ç0 0
4÷ø çè0 0
0ö
÷ T
1÷，b1 =(1,0,0)
0÷ø
æ-3
ç
当l2 = -1时，-E - B = ç 0
ç 0
è
-1 0ö æ3 ÷ ç
0 0÷ ® ç0
0 1÷ø çè0
1 0ö
÷ T
0 1÷b2 ×(1,-3,0)
0 0÷ø
æ-4 1 0ö æ1
ç ÷ ç
当l3 = -2时，-2E - B = ç 0 -1 0÷ ® ç0
ç 0 0 0÷ø çè0
è
0 0ö
÷ T 1 0 ，b3 =(0,0,1)
÷
0 0÷ø
æ2 0
令P2 = (b1,b2,b3)，则P2-1AP = L = çç0 -1
ç0 0
è
0 ö
÷
0
÷ -2÷ø
所以P1-1AP1 =P2-1AP2 ÞP2P1-1AP1P2-1 =B
æ 1
令P = P1P2-1 = çç-2
ç 0
è
1
-1
0
1 ö
÷
-2÷
-4÷ø
22.（本题满分 11 分）设随机变量 与 相互独立， 服从参数为X Y X 1 的指数分布， 的Y
概率分布为P{Y = -1} = p ，P{Y =1} =1- p(0p 1)，令Z = XY
（1）求 的概率密度Z .（2） 为何值时， 与 不相关p X Z .（3） 与 是否相互独立？X Z
【解析】（1） 的分布函数为Z
FZ (z) = P{Z £ z}= P{XY £ z} =P{Y =-1, XY £ z}+P{Y =1, XY £ z}
=P{Y =-1, X ³ z}+P{Y =1, X £ z} =P{Y =-1}P{X ³ z}+P{Y =1}P{X £ z}
ìïpez ,z0
=í -z
= p[1- FX (-z)]+(1- p)FX (z) ïî(1- p)(1-e ),z ³ 0
ìïpez ,z0 fZ (z) =í -z
Z的概率密度函数为 ïî(1- p)e ,z ³ 0
（2） 与 不相关X Z Û cov(X，）Z =0
cov(X，）Z = E(XZ)- E(X)E(Z) = E(X 2Y)- E(X)E(XY)
= E(X2)E(Y)- E2(X)E(Y) = D(X)E(Y）=1-2p = 0 Þ p =
（3） 与 不独立。XZ
P{X £1}=FX (1) =1-e-1
P{Z £1}=P{XY £1}=P{Y =-1, XY £1}+P{Y =1, XY £1}
= P{Y = -1}P{X ³1}+ P{Y =1}P{X £1}= p +(1- p)(1-e-1)
P{X £1，，Z £，1}=P{Y =-1, X £1 Z £1}+P{Y =1, X £1 Z £1}
= P{Y = -1, X =1}+ P{Y =1, X £1}= P{Y =1}P{X £1}= (1- p)(1-e-1)
P{X £1，Z £1}¹ P{X £1}P{Z £1}，所以 与 不独立。X Z
23.（本题满分 11 分）
设总体 的概率密度为X
f (x;s2)=íse
ï
î
,
0
x ³m，其中 是已知参数， 是未知参数， 是常数，m s0 A x m
ìïA -(x2-sm2)2
X1, X 2,L , Xn 是来自总体 的简单随机样本X .
（1） 求 ； （A 2）求 的最大似然估计量s2 .
+¥
【解析】（1）由f (x)dx =1
-¥
所以ò+¥ Ae-(x2-su2)2 dx =1 u s
(x-u)2
（2） 似然函数为：
Õ i Õ
s
i=1 i=1
n
i
n n
L(s2) = f (x ;s2) = e ,x ³ u,i =1,2...n
(x -u)2 2 å i
2 n s2 p- i=1 2 ,i =1,2...n
ln L(s ) = - ln + nln
2 2s
n
2 å(xi -u)2
d[ln L(s )] = - nA 1 +0+ i=1 A 14 =0 2 2
ds 2 s 2 s
n
å(xi -u)2
所以s2 = i=1
n
n
å(Xi -u)2
所以， 的最大似然估计量是s2 i=1
n
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