一元二次方程及其求根公式与韦达定理（含推导）

一元二次方程及其求根公式与韦达定理（含推导）

ax²+bx+c=0(a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。求一元二次方程，有四种方法，配方法和因式分解法、图像解法、穷举法，这里我们只讲配方法。

一元二次方程成立必须同时满足三个条件：

①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数；

③未知数项的最高次数是2 。

利用一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）可以判断方程的根的情况。

一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0）的根与根的判别式 有如下关系：

①当△0时，方程有两个不相等的实数根；

②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；

③当△0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

上述结论反过来也成立。

对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0）的根，有：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a,即求根公式。

求根公式

求根公式推导：

ax²+bx+c=0(a≠0），方程两边同除以a，得x²+(b/a)x+c/a=0；方程两边各加上

[(b/2a)²-c/a],得x²+2(b/2a)x+(b/2a)²=(b/2a)²-c/a，你看x²+2(b/2a)x+(b/2a)²=(b/2a)²-c/a是不是跟我们的二项式定理(a+b)²=a²+b²+2ab很像——只不过a=x,b=b/2a,2ab=2(b/2a)x,a²=x²,b²=(b/2a)²,(a+b)²=(b/2a)²-c/a罢了。

因此，可得：

（x+b/2a）²=(b/2a)²-c/a，化简，得：(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²；两边同时开根号，得：

x+b/2a=√[(b²-4ac)/4a²]；化简，得：x+b/2a=[±√(b²-4ac)]/2a；两边同时减去b/2a，得：

x=[±√(b²-4ac)]/2a-b/2a;再化简，得：x=[±√(b²-4ac)-b]/2a；根据加法交换律，得

x=[-b±√(b²-4ac)]/2a，即我们耳熟能详的求根公式。

韦达定理根据求根公式可以很简单地推导出来：

方程 ax²+bx+c=0(a≠0）由一元二次方程求根公式知：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a，

则一、x1+x2=[-b+√(b²-4ac)]/2a+[-b-√(b²-4ac)]/2a=-b/a

二、x1·x2=[-b+√(b²-4ac)]/2a·[-b-√(b²-4ac)]/2a=c/a

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