数轴标根法

第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）

例如：将x3-2x2-x+20化为(x-2)(x-1)(x+1)0

第二步：将不等号换成等号解出所有根。

例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1

第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。

例如：-1 1 2

第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。

第五步：观察不等号，如果不等号为“”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。

例如：

若求(x-2)(x-1)(x+1)0的根。

在数轴上标根得：-1 1 2

画穿根线：由右上方开始穿根。

因为不等号为“”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1x1或x2。（如下图所示）

例题

注意事项

运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：

1．出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。

例1 解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）0。

解 x（3－x）（x+1）（x－2）0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x|x－1或0x2或x3}。

事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：

解原不等式变形为x（x－3）（x+1）（x－2）0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，原不等式的解集为{x|－1x0或2x3}。

2．出现重根时，机械地“穿针引线”

例2 解不等式（x+1）（x－1）2（x－4）30

解将三个根－1、1、4标在数轴上，原不等式的解集为{x|x－1或1x4}。

这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：

解将三个根－1、1、4标在数轴上，画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到x=4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集

{x|－1x4且x≠1}

3．出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”

例3 解不等式x（x+1）（x－2）（x3－1）0

解原不等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x2+x+1）0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。

解原不等式等价于

x（x+1）（x－2）（x－1）（x2+x+1）0，

∵ x^2+x+10对一切x恒成立，

∴ x（x－1）（x+1）（x－2）0，由图4可得原不等式的解集为{x|x－1或0x1或x2}

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