(课本以为你懂了系列)高中数学平面向量（适合高一与知识重温）
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向量在几何与代数都有广泛的用途。因为我接下来打算敲一些平面几何的知识，就先打算介绍一下平面向量这个知识点。
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向量的概念
向量生活中无处不在，有一种图片叫矢量图，用的就是向量。它的特点是放大后图像不会失真，和分辨率无关，但最大的缺点是难以表现色彩层次丰富的逼真图像效果。如今矢量图形这个术语主要用于二维计算机图形学领域，会涉及到一些算法。大家要好好学数学啊，不要老说能不能用来买菜这种没水平的话了。
回到正题，经常遇到许多的量，例如像时间、温度、质量、密度、长度、面积、体积等，这些量在规定的单位下，都可以由一个数来完全确定，这种只有大小的量叫做数量。此外，还有一些比较复杂的量，例如像位移、力、速度、加速度等，它们不但有大小，而且还有方向，这种量就是向量。
由此我们可以得出向量的定义。既有大小又有方向的量叫做向量或称矢量。
我们用有向线段来表示向量有向线段的始点与终点分别叫做向量的始点与终点。有向线段的方向表示向量的方向，而有向线段的长度表示向量的大小。
始点 A,终点B
在手写时常用带箭头的小写字母
向量的大小叫做向量的模，也称向量的长度.上述的向量的模可记为
因为模是长度，所以模必定是≥0的，也就是取值范围在[0,+∞），这一点在一些求解几何问题中有很大作用，也就是说，学了向量之后，可以利用向量去解决平面几何的问题，向量是一个比较重要的工具。
注：在印刷体中向量用粗体，如：向量a。（下文都会采取这种格式，但手写不写箭头只能代表线段长度，没有方向，所以书写时候不要漏掉字母头顶上的箭头。）
注意区别线段和向量：
线段没有起点和终点之说，线段AB=线段BA，而向量AB≠向量BA
接下来我们介绍两个比较常见的向量
单位向量：模长为1的向量。与向量a具有统一方向的单位向量叫做向量a的单位向量。
零向量：模等于0的向量，记作0。它是起点与终点重合的向量，零向量的方向不定。不是零向量的向量就叫非零向量（这不是废话）。
向量间的关系
相等：两个向量的模相等，且方向相同。
规定所有零向量都相等。
平行（也称共线）：方向相反或相同的非零向量。
规定零向量与任一向量平行。
如图
如何理解平行即共线？
直线l上有点A、B、C、O
结合上面两个图，向量0A(箭头)=a，OB(箭头)=b，向量OC（箭头）=c，
前一个图可以通过平移变成后一个图。也就是说，任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量也叫作共线向量。
向量的运算
加减
图片来源：By IkamusumeFan - Plot SVG using text editor., CC BY-SA 3.0,
这个平行四边形可以看成是物理中的合力模型，a，b的合力就是图中的a+b总结一下不
总结一下不共线向量的加减法要点：
向量AB（补箭头）= - 向量BA（补箭头）所以向量的所有减法可以看做是加法。
问：在一个封闭图形中，向量AB（补箭头）-向量CB（补箭头）+向量CD（补箭头）+向量EF（补箭头）=?
答：
原式＝向量AB（补箭头）+向量BC（补箭头）+向量CD（补箭头）+向量EF（补箭头）=
AF
也就是即使没有图像，我只关注的是始点和终点（衔接部分字母是相同的），也可以知道加减得出的结果是什么。
数乘
也就是实数与向量的乘积，看图。
不仅仅要注意长度，更要注意方向，可做伸缩
我们对数乘作出以下规定。依然用粗体表示向量，书写体不能忘记箭头。
|λa|=|λ||a|
λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；λ＜0时则相反，λ=0时，λa=0（注意，实数零乘一个向量之后依然是向量，其实就是作同向或反向伸缩，所以结果是零向量，而不是实数0。实数0跟零向量不是一回事！！！） ，λa的方向任意。
数乘满足以下运算律
λ，μ∈R, a、b是向量，则
λ（μa）=（λμ）a
（λ+μ）a=λa+μa
λ(a+b)=λa+λb
也就是满足结合律和分配律。
有了数乘的概念我们就可以更加规范向量共线的条件：
（1）当a=0时，a与任一向量b共线。这个不要漏！！！除非题目说明非零向量。
（2）当a≠0时，a与b共线，存在λ，使得b=λa。反推也成立。
数量积（一般称为点乘）
a·b=|a||b|cosθ，（θ为两向量夹角）
几何意义如图，
图片来源：By No machine-readable author provided. Mazin07 assumed (based on copyright claims).- No machine-readable source provided. Own work assumed (based on copyright claims).,Public Domain,
我们要把点乘与数乘区分开来，点乘的结果是一个数，这个很显然，两个绝对值相乘再乘上一个三角函数值，当然是一个数值。而数乘得出的是一个向量。
数量积满足 交换律，结合律，分配律
a·b=b·a
（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb)
(a+b)·c=a·c＋b·c
这个有什么用呢？物理上计算神奇的小滑块做功用的就是这个方法，力投影分解到一个方向上再乘上力方向的位移。在数学上我们可以把它跟三角函数联系起来，甚至可以解决平面到立体的几何问题。
图片来源：By Maschen - Own work, CC0,
也就是余弦定理之后我会另开一篇详细讲
此处抛出问题：
θ=90°时向量点乘为多少？
答 ：0，也就是两个非零向量点乘为零，则两向量垂直。这个可以判定两个向量是否垂直。
a⊥b，a·b可互推。
θ=180°时向量点乘为多少？
答：-|a||b|
θ=0°时呢？
答：|a||b|
由点乘推出的一些性质：
特别地a·a=|a|²
变形：cosθ=（a·b）/(|a||b|)
∵cosθ∈[-1,1]，∴|a·b|≤|a||b|
计算小题的时候要善于运用平方和公式和平方差公式。
这次先讲到这里~
会持续更新的！有疏漏之处还请指出！
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